1.

Найдите такое натуральное число k, что 2008! делится на 2007^k, но не делится на 2008^k.
(Напомним, чтоn! = 1·2·3·4·… ·n).

2.

Может ли вершина параболы y = 4x² – 4(a + 1)x + a лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?

3.

(an) – арифметическая прогрессия с разностью 1.
Известно, что S₂₀₀₈ - наименьшая среди всех S_n (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n).
Какие значения может принимать первый член прогрессии?

4.

Внутри равностороннего треугольника со стороной 8 находится равнобедренный треугольник АВС, в котором АС = ВС = 1, угол С=120°.
Две вершины А и В могут лежать либо на одной стороне большого треугольника, либо на двух.
Где при этом может оказаться вершина тупого угла – точка С?
Нарисуйте это геометрическое место точек и найдите длину соответствующей линии.

5.

Клетчатая прямоугольная сетка m x n связана из веревочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную веревочку.
Если не останется ни одного замкнутого веревочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим.
Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?

6.

Докажите, что являются точными квадратами все числа вида 16, 1156, 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

7.

В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

8.

Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХ^А=БАХ.

9.

Двое пишут 30-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую --- второй, третью --- первый и т.д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

10.

Можно ли замостить шашечную доску 10*10 плитками 4*1?