Логические задачи на определение веса
Логические задачи на определение веса с решением
Задача 1. Определение более тяжелой монеты из 27 монет.
Из 27 монет одна фальшивая, отличающаяся от остальных большим весом.
Какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирек потребуется для определения поддельной более тяжелой монеты?
Задача 2. Две фальшивые из 103 монет. Среди 103 монет имеются 2 одинаковые фальшивые, которые отличаются от подлинных лишь весом.
Какое минимальное число взвешиваний на весах без гирь потребуется для определения, что тяжелее: настоящие или фальшивые монеты?
Задача 3. Определение веса одной из 5 гирь.
5 кубиков весят 1000, 1001, 1002, 1004 и 1007 г.
Какое минимальное число взвешиваний на весах с гирьками (или со стрелкой) потребуется для определения кубика весом 1000 г?
Задача 4. Раскладывание 1002 гирь на 3 равные кучки.
Как разложить на 3 равные кучки 1002 гирьки, имеющие вес 1, 2, 3, ..., 1002 г?
Задача 5. Наличие 2 фальшивых среди 1000 монет.
Среди 1000 монет могут быть (а могут и не быть) фальшивые монеты в количестве не более двух штук.
Какое необходимо минимальное число взвешиваний на весах без гирь для того, чтобы определить, есть ли фальшивые монеты среди 1000 монет, и если есть, то тяжелее они подлинных или легче? Как изменится ответ, если фальшивой может быть одна монета из 2000 штук?
Решения задач.
Решение задачи 1.
Разделим все монеты на 3 кучки по 9 монет.
1. Взвесим две любые кучки. Во время этого первого взвешивания определим кучку, в которой находится фальшивая монета. Если взвешиваемые кучки по весу равны, то фальшивая монета находится в третьей кучке, в противном случае поддельная монета окажется в той кучке, которая окажется тяжелее.
2. Из подозрительной кучки в 9 монет возьмем две любые тройки монет и взвесим их. Если выбранные произвольно группы из трех монет окажутся равными по весу, то фальшивая монета будет в третьей, невзвешиваемой тройке, в противном случае поддельная монета в той кучке из 3 монет, которая окажется тяжелее.
3. Возьмем из подозрительной тройки монет две любые и взвесим. Та монета, которая перевесит, и будет фальшивой. Если выбранные монеты окажутся одинакового веса, то поддельной будет третья монета.
Таким образом, из 27 монет с помощью трех взвешиваний всегда можно найти одну более тяжелую монету.
Решение задачи 2.
1. Разделим монеты на 3 равные кучки по 34 монеты: А, В и С. В этих кучках может оказаться 1 или 2 фальшивые монеты.
1-е взвешивание. Взвесим кучки А и В.
2-е взвешивание. Взвесим кучки В и С. Возможны следующие разные варианты взвешиваний:
1. А = В и В > С;
2. А > В и С > В.
Рассмотрим вариант 1.
Возможны 2 случая: либо по одной фальшивой монете в кучках А и В,
и тогда фальшивая монета тяжелее настоящей,
либо в кучках А и В настоящие монеты,
и одна или две более легкие фальшивые монеты - в кучке С.
Дилемму можно разрешить при помощи третьего взвешивания.
3-е взвешивание.
Кучку А (или В) делим примерно пополам и сравниваем половинки. Если они равны, то фальшивые монеты легче и находятся в кучке С. Если одна из половинок кучки А тяжелее другой, то фальшивая монета тяжелее подлинной.
Рассмотрим вариант 2.
Возможны 2 случая: либо в кучках А и С находится по одной тяжелой монете (тогда в кучке С находятся подлинные монеты), либо в кучке С находится одна или две более легкие фальшивые монеты (тогда в кучках А и В оказались подлинные монеты).
Третье взвешивание позволяет определить, какая монета тяжелее - фальшивая или настоящая.
Решение задачи 3.
1-е взвешивание.
Берем произвольную пару кубиков и определяем их суммарный вес, по которому можно судить, есть ли среди этой пары искомый кубик. Если есть, то во время второго взвешивания выбранных кубиков определяем, какой именно имеет вес 1000 г, и, таким образом, задача решена. Если нет, то производи второе взвешивание.
2-е взвешивание.
Берем вторую произвольную пару кубиков из оставшейся тройки. Взвешиваем ее и определяем, есть ли среди этой пары искомый кубик. Если нет, то 1000-граммовый кубик будет пятым, который не попал ни в первую, ни во вторую пару, и вновь задача решена. Если искомый кубик находится среди второй пары случайно выбранных кубиков, то необходимо третье взвешивание.
3-е взвешивание.
Искомый кубик, находящийся среди второй пары выбранных кубиков, однозначно определяется при их взвешивании.
Таким образом, для решения задачи требуется не более 3 взвешиваний (и не менее двух).
Решение задачи 4.
Будем раскладывать гирьки в порядке возрастания их весов в три мысленно пронумерованные кучки, поочередно начиная то с № 1, то с № 3.
| Кучка №1 | 1 | 6 | 7 | 12 | ... | 997 | 1002 | | Кучка №2 | 2 | 5 | 8 | 11 | ... | 998 | 1001 | | Кучка №3 | 3 | 4 | 9 | 10 | ... | 999 | 1000 |
Видно, что равенство весов в кучках достигается лишь после четного количества операций разложения гирек по трем кучкам.
Таким образом, данный алгоритм годится лишь для такого количества гирек с весами натурального ряда, которое при делении на 3 даст четное число.
Решение задачи 5.
Разделим монеты поровну и взвесим (1-е взвешивание).
Возможны 2 варианта:
А (группы по 500 монет весят одинаково) и
Б (одна из групп в 500 монет тяжелее другой).
А. Число фальшивых монет 0 или 2 (по одной в каждой группе).
Опять разделим любую из групп на две по 250 монет и взвесим (2-е взвешивание).
Если чаши весов опять будут в равновесии, то фальшивых монет нет, так как они в этот раз не могут находиться по одной на каждой чаше, ибо на обеих чашах (500 монет) может быть не более одной фальшивой монеты.
Если одна из чаш весов перевесила, то, значит, имеется одна фальшивая монета, и осталось определить, тяжелее она или легче настоящих монет. Для этого более тяжелую группу из 250 монет опять делим пополам и взвешиваем (3-е взвешивание). Если две группы по 125 монет будут весить одинаково, то фальшивая монета легче настоящих и находится в той группе из 250 монет, которая при предыдущем взвешивании оказалась легче. Если одна из групп в 125 монет перевесила, то фальшивая монета тяжелее подлинных и находится в этой перевесившей группе.
Б. Число фальшивых монет 1 или 2, и они лежат на одной чашке.
Разобьем одну из групп (для определенности – более тяжелую) на две и взвесим (2-е взвешивание).
Если одна из групп в 250 монет перевесила, то фальшивые монеты находятся среди этих взвешиваемых 500, и они тяжелее настоящих.
В задаче не спрашивается, сколько фальшивых монет одна или две, поэтому в этом случае достаточно 2 взвешиваний.
Если взвешиваемые группы по 250 монет находятся в равновесии, то либо фальшивые монеты легче и находятся среди не взвешиваемых пятисот, либо они тяжелее, но их две – по одной в каждой взвешиваемой группе.
Для разрешения этого вопроса необходимо 3-е взвешивание. Разделим любую группу пополам и взвесим.
Если весы будут в равновесии, то среди взвешиваемых монет нет фальшивых, так как фальшивая монета на обоих весах может быть только одна; поэтому фальшивые монеты легче настоящих.
Если одна из чаш перевесит, то фальшивая монета тяжелее подлинных.
Как видно, в любом случае для определения наличия фальшивых монет и их веса относительно подлинных необходимо не более 3 взвешиваний.
|
|
Логические задачи